El Renacimiento (S. XV y XVI Europa Occidental)
Los artistas matemáticos del Renacimiento manifestaron gran interés por los poliedros, respaldando así los estudios platónicos con de ciertos manuscritos de las obras de Platón, y valorando los sólidos como modelos en los estudios sobre perspectiva.
Piero Della Francesca (1415-1492)
En 1480 Piero della Francesca realiza un completo estudio en su obra Libellus De Quinque Corporibus Regularibus. En esta obra además de los sólidos platónicos se redescubren los llamados sólidos arquimedianos o poliedros semirregulares.
“Piero della Francesca fue un experto en relacionar los diversos poliedros; obtuvo unos a partir de otros y los inscribió sucesivamente. De esta forma, además del posible número de polígonos regulares en el plano (infinitos) y de poliedros regulares en el espacio (sólo cinco) aparece otra distinción significativa entre ambos tipos de entes: mientras que en el plano, el triángulo, el cuadrado y el pentágono, por ejemplo, son geométrica y algebraicamente independientes unos de otros, los cinco poliedros regulares guardan entre sí íntimas relaciones estructurales. De ellas la más elemental es la llamada dualidad o reciprocidad poliédrica según la cual «el sólido cuyos vértices son los centros de las caras de uno platónico también es platónico» y también «el sólido determinado por los planos tangentes en los vértices a la esfera circunscrita a un sólido platónico también es platónico». Un poliedro y su dual tienen el mismo número de lados y el número de caras de uno es igual al número de vértices del otro”
Alberto Durero (1471-1528)
Buena parte del Libro IV de la obra de Durero está dedicada a los poliedros regulares y semiregulares. Para Durero los poliedros regulares son sólidos «que son iguales en todo, caras, ángulos y lados, a los que Euclides llama “corpora regularia”. Él describe cinco, pues no pueden ser otros que los que se inscriben en su totalidad tangentes a una esfera». A continuación, Durero describe, uno por uno, los cinco poliedros regulares, indica el número de caras, aristas y vértices, y representa cada uno de los cuerpos por su desarrollo en un plano y por dos proyecciones ortogonales sobre los planos horizontal y vertical, lo que, en alguna medida, es un antecedente de la Geometría Descriptiva de Monge. El desarrollo de Durero permite reconstruir el objeto poliédrico en tres dimensiones: se recorta en papel la red formada por las caras y se pliega a lo largo de las aristas de las caras contiguas. Es el mismo procedimiento utilizado en la escuela para construir los poliedros regulares.
Luca Pacioli (1445-1517)
Pacioli estudia la proporción mutua de todas las superficies poliédricas regulares y la inclusión progresiva de cada uno de los poliedros en el siguiente, hasta el punto de que el dodecaedro los contiene a todos. La influencia pitagórico-platónica le infunde la veneración hacia el dodecaedro, al que llama nobilísimo cuerpo regular, de forma que interpretando El Timeo platónico, escribe (La Divina Proporción, Cap. LV):
«La forma de doce bases pentagonales la atribuyó [Platón] al cielo como aquello que es receptáculo de todas las cosas, del mismo modo que el dodecaedro es receptáculo y albergue de todos los cuerpos regulares, como se puede comprobar por la inscripción de un cuerpo en otro».
Johannes Kepler (1571-1630)
La cosmología poliédrica de Kepler:
Kepler fue totalmente seducido por la teoría de Platón y Pitágoras de modo que elaboró una cosmología basada en los cinco sólidos regulares, en la creencia de que estos serían la clave utilizada por el creador para la construcción de la estructura del Universo. En la época de Kepler sólo se conocían seis planetas, Mercurio, Venus, la Tierra, Marte. Júpiter y Saturno, mientras que había infinitos polígonos regulares sólo existían cinco poliedros regulares.
Kepler pensó que los dos números estaban vinculados: «hay sólo seis planetas porque hay sólo cinco poliedros regulares» y da una visión del sistema solar que consiste en sólidos platónicos inscritos, encajados unos dentro de otros. Al creer que había reconocido el esqueleto invisible del Universo en esas estructuras perfectas que sostenían las esferas de los seis planetas, llamó a su revelación "El Misterio Cósmico".
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Leonhard Euler (1730-1783)
En los tiempos modernos:
La famosa Fórmula de Euler que relaciona caras, vértices y aristas de un sólido platónico: «en todo poliedro convexo, el número de vértices menos el número de aristas más el número de caras es igual a dos»
(V – A + C = 2), es posible que fuera conocida por Teeteto y por Arquímedes, pero es Descartes quien primero la establece hacia 1635.
Euler la obtuvo de nuevo de forma independiente en 1752, dando una sencilla prueba inductiva. Hoy se estudia como un invariante topológico y es uno de los tópicos más representativos de la moderna Topología Algebraica. A partir de la Fórmula de Euler se puede demostrar por procedimientos muy elementales la proposición que culmina con broche de oro la composición de Euclides: la existencia de justamente cinco poliedros regulares distintos.